有限数学示例

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ 无定义。

$x \leq - 5, x = 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 5$ 时， $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 5$ 时， $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - 5$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 5$

解题步骤 1.3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 1.4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 5, 0$

解题步骤 1.5

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 0$

$m = 2$

解题步骤 1.7

因为 $n < m$ ，所以 x 轴、 $y = 0$ 是水平渐近线。

$y = 0$

解题步骤 1.8

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 5, 0$

水平渐近线： $y = 0$

垂直渐近线： $x = - 5, 0$

水平渐近线： $y = 0$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (1 + 5)$ 。

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

解题步骤 2.2.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

解题步骤 2.2.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

解题步骤 2.2.3.2

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

解题步骤 2.2.4

用 $\ln (7776)$ 除以 $1$ 。

$f (1) = \ln (7776)$

解题步骤 2.2.5

最终答案为 $\ln (7776)$ 。

$\ln (7776)$

解题步骤 2.3

把 $\ln (7776)$ 转换成小数。

$y = 8.95879734$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (2 + 5)$ 。

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

解题步骤 3.2.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

解题步骤 3.2.3.2

对 $7$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{\ln (16807)}{4}$ 重写为 $\frac{1}{4} \ln (16807)$ 。

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

解题步骤 3.2.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{4} \ln (16807)$ 。

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ 。

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 3.3

把 $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ 转换成小数。

$y = 2.43238768$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (3 + 5)$ 。

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

解题步骤 4.2.3.2

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

解题步骤 4.2.4

将 $\ln (32768)$ 重写为 $\ln (2^{15})$ 。

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

解题步骤 4.2.5

通过将 $15$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{15})$ 。

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

解题步骤 4.2.6

约去 $15$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

从 $15 \ln (2)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

解题步骤 4.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

解题步骤 4.2.6.2.2

约去公因数。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.6.2.3

重写表达式。

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

解题步骤 4.2.7

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (2)$ 。

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

解题步骤 4.2.8

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

解题步骤 4.2.9

将 $\frac{\ln (32)}{3}$ 重写为 $\frac{1}{3} \ln (32)$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

解题步骤 4.2.10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (32)$ 。

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.2.11

最终答案为 $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ 。

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.3

把 $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ 转换成小数。

$y = 1.1552453$

解题步骤 5

可以使用 $x = - 5, 0$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

解题步骤 6

有限数学 示例

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